28
Nov, 2014

Instruments Financiers : Les Actions

Voir l’Introduction

1. Définition

Une action est un titre de propriété négociable, qui correspond à une fraction du capital social d’une société. Le détenteur d’une action, l’actionnaire, est copropriétaire de l’entreprise, ce qui lui confère généralement les droits et devoirs d’un associé : droit de vote, droit à l’information, droit aux dividendes…

 2. Les modes de rémunération

La source potentielle de gains de l’actionnaire est double :

le dividende. En tant que copropriétaire du capital de la société, l’actionnaire perçoit une partie du résultat distribué (l’autre partie du résultat étant conservée au sein de l’entreprise). Plusieurs politiques de dividende sont possibles : le paiement des dividendes en numéraire (tous les actionnaires sont servis), le rachat d’actions (seuls les actionnaires qui vendent leurs actions sont servis), l’attribution d’actions gratuites (tous les actionnaires sont servis, considéré comme un revenu taxable au même titre qu’un dividende en numéraire). On peut mesurer le rendement procuré par l’action en rapportant le montant du dividende par action au cours de l’action concernée.
la plus value éventuelle sur la revente de l’action. Si lors de la cession d’une action, le prix de vente est supérieur au prix d’acquisition, le vendeur engrangera un gain appelé plus-value.

Le but de ce cours étant de définir et d’étudier les différents instruments financiers d’un point de financier nous n’allons développer ici aucun aspect juridique. Au contraire, nous allons ici rappeler quels sont les différents développements financiers théoriques qui ont été développés jusqu’à aujourd’hui, puis nous allons mettre en perspective les applications pratiques en gestion de portefeuille.

 3. L’évaluation des actions par les dividendes actualisés

La méthode d’évaluation des actions communément admise en finance est celle des cash-flows actualisés. Elle consiste à calculer la valeur actuelle des cash-flows futurs, en les actualisant à un taux qui prend en compte le risque perçu. Le principe est que tout investisseur qui achète une action espère une rémunération (dividendes et plus-values) qui compense au moins le risque qu’il appréhende. On en déduit donc que la valeur actuelle d’une action est égale à la somme des valeurs actuelles des dividendes futurs qu’elle versera.

a) Le modèle à une période :

Prenons un exemple :

On considère une action X que l’on veut acheter. Nous anticipons que cette action va payer un dividende de 5 euros et que son cours sera de 110 euros ex-dividende.
En investissant dans l’action X les investisseurs vont exiger en contrepartie un certain taux de rentabilité, qui est fonction du risque perçu pour cette action. Ce taux est également appelé taux de rentabilité ajusté au risque. La détermination précise de ce taux se fait par l’utilisation de modèles financiers relativement complexes que nous ne développerons pas ici. On supposera que ce risque est donné et on le dénote k.
Supposons que pour compenser le risque encouru les investisseurs exigent un taux de rentabilité pour l’action X de 15% par an.

Le gain espéré (espéré = signification probabiliste) correspond donc au dividende anticipé D_{1}, plus la plus-value sur le prix de l’action : C_{1} - C_{0} . Le taux de rentabilité espéré, que l’on note E(r_{1}), correspond au gain espéré rapporté au cours actuel de l’action (C_{0}). Au taux de rentabilité exigé de 15%, on obtient :

[katex]E(r_{1}) = \dfrac {D_{1} + ( C_{1} – C_{0} )}{C_{0}} = k[/katex]      (1)

[katex]0.15 = \dfrac {5 + (110 – C_{0})}{C_{0}}[/katex]

L’équation 1 résume le point le plus important des modèles d’évaluation par les dividendes : le fait que le taux de rentabilité attendu est égal au taux de rentabilité exigé k.

De l’équation (1) nous pouvons en déduire le cours actuel de l’action :

[katex]C_{0} = \dfrac {D_{1}+C_{1}}{1 + k}[/katex]      (2)

L’équation (2) revient à dire que le cours actuel de l’action vaut la valeur actuelle du dividende anticipé, plus la valeur actuelle du cours dans un an, le tout actualisé à l’exigence de rentabilité des investisseurs. En remplaçant par les données, on obtient :

[katex]C_{0} = \dfrac {5+110}{1.15}=100[/katex] euros

Quelle remarque peut-on faire ici ? Cette formule nous permet de déterminer la valeur actuelle d’une action en fonction de son dividende anticipé et de son cours futur, mais comment détermine-t-on ce cours futur ?
En faisant le même calcul que le cours actuel, c’est-à-dire en utilisant le cours et le dividende attendus à la période 2 : [katex]C_{2}[/katex] et [katex]D_{2}[/katex].

b) Le modèle à plusieurs périodes :

 On exprime donc le cours anticipé de l’action à la période 1 en fonction des anticipations sur les dividende et cours de l’action à la période 2 :

[katex]C_{1} = \dfrac {D_{2}+C_{2}}{1 + k}[/katex]      (3)

En remplaçant la valeur de [katex]C_{1}[/katex] dans l’équation (2) on trouve :

[katex]C_{0} = \dfrac {D_{1}+\dfrac {D_{2}+C_{2}}{1 + k}}{1 + k}=\dfrac {D_{1}}{1 + k}+\dfrac {D_{2}+C_{2}}{(1 + k)^2}[/katex]      (4)

Et avec la valeur de [katex]C_{2}[/katex] dans l’équation (4) on trouve :

C_{0} = \dfrac {D_{1}+\dfrac {D_{2}+\dfrac {D_{3}+C_{3}}{1 + k}}{1 + k}}{1 + k}=\dfrac {D_{1}}{1 + k}+\dfrac {D_{2}}{(1 + k)^2}+\dfrac {D_{3}}{(1 + k)^3}+\dfrac {C_{3}}{(1 + k)^3}

Soit, en généralisant :

[katex]C_{0} = \dfrac {D_{1}}{1 + k}+\dfrac {D_{2}}{(1 + k)^2}+\dfrac {D_{3}}{(1 + k)^3}+…+\dfrac {D_{t}}{(1 + k)^t}=\sum_{t=1}^\mathcal{1} \dfrac {D_{t}}{(1 + k)^t}[/katex]      (5)

Ce qui signifie que le prix d’une action est égal à la somme de ses dividendes actualisés, au taux de rentabilité exigé par les investisseurs. Le cours anticipé est, on s’en doute intuitivement, de moins en moins influant sur le prix actuel, à mesure que t tend vers l’infini.

c) Le modèle de Gordon-Shapiro1 :

Dans l’équation (5) précédente nous avons besoin d’anticiper tous les dividendes futurs, à l’infini. Ce qui est impossible. Par contre, pour simplifier, on peut supposer que les dividendes vont croître à un taux constant.
En reprenant notre exemple précédent de l’action X, si l’on suppose que le taux de croissance des dividendes est de g par an alors on a :

[katex]D_{2}=D_{1}\times(1+g)[/katex]

[katex]D_{3}=D_{2}\times(1+g)=D_{1}\times(1+g)^2[/katex]

[katex]D_{n}=D_{n-1}\times(1+g)=D_{1}\times(1+g)^{n-1}[/katex]

Et en remplaçant la valeur de chaque dividende dans (5), on obtient :

[katex]C_{0} = \dfrac {D_{1}}{1 + k}+\dfrac {D_{1}\times(1+g)}{(1 + k)^2}+\dfrac {D_{1}\times(1+g)^2}{(1 + k)^3}+…+\dfrac {D_{1}\times(1+g)^{t-1}}{(1 + k)^t}=\sum_{t=1}^\mathcal{1} \dfrac {D_{1}\times(1+g)^{t-1}}{(1 + k)^t}[/katex]

La somme de cette suite géométrique, à l’infini, se simplifie en :

[katex]C_{0} = \dfrac {D_{1}}{k-g}[/katex]      (6)     Formule de Gordon-Shapiro

Quelles sont les implications de ce modèle ?

– Pour une valeur donnée de [katex]D_{1}[/katex] et de k, plus le taux g est grand, plus la valeur de l’action sera élevée ;
– Au fur et à mesure que g se rapproche de k, le modèle ne fonctionne plus car le cours de l’action tend vers l’infini. Il n’est donc applicable que si le taux de croissance anticipé est inférieur au taux d’actualisation k ;
– Le cours de l’action va croître au même rythme que les dividendes :

Si [katex]C_{0} = \dfrac {D_{1}}{k-g}[/katex], alors [katex]C_{1} = \dfrac {D_{2}}{k-g}[/katex]. Comme [katex]D_{2}=D_{1}\times(1+g)[/katex], alors on obtient :

[katex]C_{1} = \dfrac {D_{1}\times(1+g)}{k-g}=C_{0}\times(1+g)[/katex]

De cette formule on en déduit que la variation du cours de X de la période 0 à la période 1 est :

[katex] \dfrac {C_{1}-C_{0}}{C_{0}} = \dfrac {C_{0}\times(1+g)-C_{0}}{C_{0}}=g[/katex]

Ce qui montre que ce modèle d’évaluation par les dividendes implique qu’en cas de croissance des dividendes, le prix de l’action s’appréciera chaque année du taux de croissance constant g.

Nous venons donc de voir comment évaluer le cours d’une action en fonction de ses dividendes futurs. Dividendes qui seront déterminés par la politique de distribution des résultats de la société vers les actionnaires. Or faut-il toujours se concentrer sur les dividendes, ou faut-il également (ou plutôt) se pencher sur la création de valeur ?
Si un investisseur envisage de racheter une société, il ne se souciera pas d’anticiper les dividendes futurs car s’il réussit, il déterminera lui-même cette politique de dividendes. Pour un investisseur normal (i.e. un actionnaire), les dividendes sont bien entendu très important dans la détermination du prix de l’action qu’il achète, mais il faut aussi prendre en compte la vraie valeur de l’entreprise, sa valeur « intrinsèque » (est-ce que l’entreprise a des actifs matériels et immatériels, c’est-à-dire des usines, une technologie unique, des brevets, du savoir-faire, une main d’oeuvre qualifiée ?…).

d) Exemple :

Dans le calcul de l’actualisation des dividendes futurs le cas le plus évident concerne les actions préférentielles (preferred shares). Celles-ci ont en effet un dividende fixe (comme une obligation) qu’il est donc possible de prévoir à l’avance.

Ci-dessous un exemple de preferred stock (émetteur initial : Merrill Lynch ; risque : Bank of America), dont le dividende est de 7% (payé trimestriellement). Le pair est de $25.

Preferred stock - ML

(source: Bloomberg)

Preferred stock - ML - 1Y chart

(source: Bloomberg)

Preferred stock - ML - DVD

(source: Bloomberg)

Question :

Sachant que le taux de rentabilité éxigé pour acheter une action préférentielle de Bank of America est de 8% aujourd’hui, quel est selon vous le cours de cette action ?

4. L’évaluation des actions par les bénéfices et les opportunités d’investissements

Si l’on définit le dividende comme étant le bénéfice moins les investissements nets, alors on a la relation suivante :

[katex]C_{0}=\sum_{t=1}^\mathcal{1} \dfrac {D_{t}}{(1 + k)^t}=\sum_{t=1}^\mathcal{1} \dfrac {BPA_{t}}{(1 + k)^t}-\sum_{t=1}^\mathcal{1} \dfrac {I_{t}}{(1 + k)^t}[/katex]

où [katex]BPA_{t}[/katex] représente le bénéfice par action pour l’année t, et [katex]I_{t}[/katex] l’investissement (par action) de l’année t.

Cette équation signifie que la valeur d’une société n’est pas exactement égale à la valeur actuelle de ses résultats futurs mais plutôt à ces derniers, réduits de la valeur actuelle de la partie des résultats réinvestis dans la société.

Les investissements nets peuvent être :

> positifs (on investit plus qu’on ne désinvestit ; le bénéfice est imputé du montant de ces investissements nets) ;
> nuls (on investit en renouvelant exactement le parc productif ; le bénéfice sera égal au dividende) ;
> négatifs (on désinvestit plus qu’on n’investit ; les désinvestissements nets viendront s’ajouter au bénéfice).

Prenons l’exemple de la société Y, qui prévoit de dégager un bénéfice par action : BPA = €15.
60% de ces bénéfices seront consacrés chaque année à des investissements dans des actifs qui ont une rentabilité attendue de 20% par an.
De plus, l’exigence de rentabilité des investisseurs est ici encore de k = 15% par an.

Questions :

> Quel sera le taux de croissance des BPA ?
> Quel sera le taux de croissance des dividendes ?
> Combien vaut l’action de la société Y ?
> Combien vaudrait-elle si elle distribuait 100% des bénéfices en dividende (pas d’investissement) ?

Réponses :

> Taux de croissance des BPA :

On a :

[katex]\text{Taux de croissance des BPA}=\dfrac{\text{Variation du BPA}}{\text{BPA}}[/katex]

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le montant des investissements :

[katex]\text{Taux de croissance des BPA}=\dfrac{\text{Investissements}}{\text{BPA}}\times\dfrac{\text{Variation du BPA}}{\text{Investissements}}[/katex]

Le taux de croissance des BPA est donc égal à :

Taux de réinvestissement des résultats  X  Taux de rentabilité des nouveaux investissements

Dans le cas de la société Y, le taux de croissance des BPA sera donc :

g = 60% x 20% = 12%

> Taux de croissance des dividendes :

[su_table]

Année 1 2 3 4 5
BPA €15 €16,8 €18,82 €21,07 €23,60
  Taux de croissance (BPA) 12% 12% 12% 12%
Investissement €9 €10,08 €11,29 €12,64 €14,16
  Taux de croissance (I) 12% 12% 12% 12%
Dividende €6 €6,72 €7,53 €8,43 €9,44
  Taux de croissance (D) 12% 12% 12% 12%

[/su_table]

Dans le tableau ci-dessus on entre le BPA de la première année (€15) ainsi que les BPA des années suivantes en appliquant le taux de croissance des BPA déterminé en 1.
On sait d’après l’énoncé que 60% des BPA sont affectés aux investissements, donc on peut calculer le montant de l’investissement pour chaque année. Ce montant croît évidemment à un taux de 12%. De même pour le dividende (résidu du BPA après investissement).
Les BPA, les investissements et les dividendes croissent au même taux : g = 12%.

> Cours de l’action Y :

En appliquant la formule de Gordon-Shapiro :  [katex]C_{0} = \dfrac {D_{1}}{k-g}[/katex]

On a donc, en remplaçant : [katex]C_{0} = \dfrac {6}{15\%-12\%}[/katex] = €200

> Cours de l’action Y sans investissement :

Si la société Y n’investissait pas et versait 100% de ses BPA en dividendes, on aurait :

[su_table]

Année 1 2 3 4 5
BPA €15 €15 €15 €15 €15
  Taux de croissance (BPA) 0% 0% 0% 0%
Investissement €0 €0 €0 €0 €0
  Taux de croissance (I) 0% 0% 0% 0%
Dividende €15 €15 €15 €15 €15
  Taux de croissance (D) 0% 0% 0% 0%

[/su_table]

 C_{0} = \dfrac {15}{15\%-0\%} =  €100    (deux fois moins que précédemment).

5. Le modèle de Gordon-Shapiro et le Price-Earnings Ratio

L’évaluation d’une action par le Price-Earnings Ratio (PER) est une approche très fréquemment employée. On détermine le bénéfice prévisionnel par action pour une société donnée, puis on multiplie cet indicateur par un PER de référence (sociétés comparables) pour obtenir le cours prévisionnel de l’action. En associant le modèle de Gordon-Shapiro à la méthode du PER on en déduit que :

. Ce n’est pas la croissance (g) qui augmente la valeur de l’action, mais ce sont les opportunités d’investissement, c’est-à-dire les opportunités de réaliser des investissements qui rapportent plus que l’exigence de rentabilité des actionnaires.

. La méthode d’évaluation par le PER postule que : [katex]C_{0} = BPA_{1}\times PER[/katex]

Donc les sociétés avec un PER élevé seront soit de sociétés dont l’exigence de rentabilité des actionnaires (k) est faible, soit dont les opportunités d’investissements futurs sont très intéressantes (c’est-à-dire des opportunités de réaliser des investissements qui rapportent plus que l’exigence de rentabilité des actionnaires).

On appelle valeurs de croissance les actions qui ont un PER élevé parce que leurs investissements futurs devraient rapporter plus que l’exigence de rentabilité des actionnaires.

Certains expliquent que si les valeurs de croissance ont un PER élevé, c’est parce que l’on prévoit que leurs bénéfices par action vont augmenter à l’avenir. Mais ceci est faux. Voici un exemple :

La société A présente un BPA de €15 qui est distribué intégralement en dividende.
La société B possède le même BPA mais réinvestit à 60% dans des investissements qui ne rapportent que du 15%.
L’exigence de rentabilité des investisseurs est de 15%.

Pour A : g = 0% x ?% = 0%
=> [katex]C_{0} = \dfrac {15}{15\%-0\%}=[/katex] €100

Pour B : g = 60% x 15% = 9%
=> [katex]C_{0} = \dfrac {6}{15\%-9\%}=[/katex] €100

Les PER de A et de B sont identiques : 100 / 15 = 6.67x
Mais leurs taux de croissance sont différents.

Il ne faut donc pas confondre opportunité d’investissement et croissance.

A lire : article de Fidelity « N’opposons pas politique de dividendes et investissements ! »

Suite >>>   Les Obligations

1.  Myron J. Gordon and Eli Shapiro (1956), « Capital Equipment Analysis: The Required Rate of Profit », Management Science, vol. 3, issue 1, pages 102-110

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Nov, 2014

Instruments Financiers : Les Obligations

1.    Définition :

Une obligation est une valeur mobilière représentant une fraction d’emprunt à moyen ou long terme émis par une société, un Etat ou une collectivité publique. Il s’agit d’un titre dont le prix évolue en fonction de l’offre et de la demande, elles-mêmes déterminées par le niveau des taux d’intérêt.

En ce qui concerne les entreprises, les obligations se retrouvent au passif de leur bilan, au poste « Emprunt » :

[su_table]

Actif Passif
Actifs non courants
Immobilisations incorporelles
Immobilisations corporelles
Immobilisations financières		 Capitaux propres
Capital émis
Réserves et résultat
Actifs courants
Stocks
Créances clients et autres créances		 Passifs non courants
Emprunt
Provisions
Trésorerie Passifs courants
Dettes fournisseurs
Provisions
Emprunts et découverts

[/su_table]

Source : wikipedia

2.    Les modes de rémunération :

La source potentielle de gains de l’obligataire est double :

. Intérêts de l’emprunt (appelé coupon) : ces intérêts sont indépendants des résultats financiers de l’émetteur, contrairement au dividende. Les intérêts des emprunts sont souvent à taux fixe mais de nombreuses formules de rémunération existent : taux variable, taux révisable, obligation indexée (par ex. indexation à l’inflation).
. Primes : cette rémunération peut s’ajouter aux intérêts. Elle est versée en une seule fois : au remboursement de l’emprunt, ou en déduction de la valeur nominale à l’émission.

3.    L’évaluation des titres à revenu fixe :

a) Principes de base :

Comme nous l’avons vu dans la section précédente (évaluation des actions), pour calculer la valeur actuelle d’une série de cash flows futurs il faut actualiser tous ces cash flows en utilisant un certain taux. Ce taux correspond au taux sans risque éventuellement augmenté d’une prime de risque.

Si on considère une obligation (OAT, donc sans risque) qui verse un coupon de 100 euros par an pendant 5 ans, et que l’on utilise le taux sans risque de 4% par an pour actualiser, son prix sera de :

[katex]P = \sum_{t=1}^n \dfrac {C}{(1 + i)^t} = C\times\dfrac{1 – (1 + i)^{-n}}{i}[/katex]    (1)

Soit, dans notre exemple :

[katex]P = 100\times\dfrac{1 – (1 + 0.04)^{-5}}{0.04} = 445.18 euros[/katex]

445.18 euros c’est donc le prix (actuel) d’un titre qui nous rapportera, si on l’achète aujourd’hui, 5 cash flows de 100 euros chacun.

Si un an plus tard vous décidez de revendre cette obligation et que les taux d’intérêt sont montés à 5%, alors le prix obtenu sera de :

[katex]P = 100\times\dfrac{1 – (1 + 0.05)^{-4}}{0.05} = 354.60 euros[/katex]

Comment comparer ces deux prix ? Si les taux n’avaient pas varié, le prix de l’obligation serait :

[katex]P = 100\times\dfrac{1 – (1 + 0.04)^{-4}}{0.04} = 362.99 euros[/katex]

La perte est donc de 362.99 – 354.60 = 8.39 euros

Pourquoi cette différence ?

>> Dans le premier cas le titre rapporte 100 euros par an. Un investisseur voulant l’acheter voudra également qu’il lui rapporte le taux de référence de 4%. Le prix calculé de 445.18 euros lui fournira, jusqu’à l’échéance, ce taux attendu. On vérifie :

5 coupons de 100, chacun d’entre eux capitalisé au taux sans risque =

[katex]100\times(1 + 4\%)^4+100\times(1 + 4\%)^3+100\times(1 + 4\%)^2+100\times(1 + 4\%)^1+100\times(1 + 4\%)^0[/katex]    (2)

= 116.9859 + 112.4864 + 108.16 + 104 + 100
= 541.6323  => c’est la valeur future du titre.
Le titre est payé 445.18, donc le gain est de 541.6323 – 445.18 = 96.4523 euros

Rendement total du titre :  [katex]\dfrac{96.4523}{445.18}\times 100 = 21.6659\%[/katex]

Puis on calcule le taux de rendement annualisé équivalent (ou taux actuariel) :  [katex][ (1 + 21.6659\%)^{\frac{1}{5}} – 1]\times 100 = 4\%[/katex] = le taux de référence

 >> Dans le deuxième cas, les coupons restant les mêmes (même rémunération), le prix doit baisser pour permettre d’augmenter le rendement total du titre.

Dans la pratique il n’est pas aussi simple d’obtenir la valeur actuelle d’un titre à revenu fixe. On ne sait généralement pas quel taux d’actualisation retenir pour calculer les valeurs actuelles. En effet, les taux d’intérêt dépendent de l’échéance du titre, et ceci est reflété au travers de la courbe des taux.

b) La courbe des taux :

Comme on l’a vu plus haut dans l’équation (2), pour calculer la valeur future d’un titre à revenus fixes, il faut capitaliser les différents cash flows. Ce qui revient à considérer que chaque coupon payé, à chaque période, pourra être replacé au même taux. Or ceci n’est pas vrai dans la réalité. En effet, qui nous dit que le taux dans 2 ans sera le même que celui d’aujourd’hui ?

Il est en fait impossible de prédire avec certitude le niveau des taux d’intérêt pour chaque échéance, mais il existe une approximation (une moyenne des anticipations) représentée par la courbe des taux.

La courbe des taux c’est la relation entre la durée de placement et le taux de rendement des obligations. Le premier point de chaque courbe représente le taux au jour le jour, c’est-à-dire pour un placement sur une journée. C’est le taux directeur fixé par la Banque centrale du pays (ou de la zone monétaire) concerné. Les points suivants sur la courbe reflètent le rendement actuariel des emprunts d’Etat pour chaque durée considérée.

L’allure générale d’une courbe des taux dépend des anticipations des intervenants sur l’évolution future des taux directeurs. Elle peut revêtir trois formes :

>> Courbe ascendante, quand les rendements augmentent avec la durée de placement. C’est la structure dite « normale ». En effet, prêter à long terme est un risque plus important qu’un prêt à court terme. Ce risque doit donc être normalement rémunéré par un rendement supérieur.

>> Courbe plate, quand les rendements sont les mêmes quelle que soit la durée. Les intervenants anticipent une stabilité des taux dans un proche avenir et une baisse des taux par la suite.

>> Courbe descendante, quand les taux à court terme sont supérieurs aux taux à long terme. On dit qu’il y a inversion de la courbe des taux. Cela signifie, en général, que les marchés anticipent un ralentissement de l’économie.

4.    L’évaluation des obligations à taux zéro :

a) Pourquoi étudier l’obligation à taux zéro (ou « zéro-coupon ») ?

L’obligation à taux zéro est en fait un cas particulier du titre à revenu fixe : elle ne verse qu’un seul cash flow, à l’échéance (remboursement de l’obligation).
Pourquoi étudier l’obligation à taux zéro ? Tout simplement parce que toute obligation peut être décomposée en une somme d’obligations zéro-coupon d’échéances différentes. On dit que la valeur globale d’une obligation est égale à la somme des valeurs des obligations zéro-coupon qui la composent.

Exemple 1 :

On a une obligation dont la valeur d’émission est de 88 (pourcentage du pair), et qui sera remboursée dans un an à 93. Sont taux de rentabilité est le suivant :

[katex]\dfrac{93 – 88}{88} = 5.68\%[/katex]

Ce taux correspond au taux de rendement actuariel (TRA) : c’est le taux d’intérêt équivalent pour tout investisseur qui garde l’obligation jusqu’à l’échéance.

On a TRA = i, tel que :  [katex]88 = \dfrac{93}{(1 + i)}[/katex] => i = 5.68%

Exemple 2 :

On a une obligation dont la valeur d’émission est de 88 euros, et qui sera remboursée à 97 euros mais dans deux ans. Quelle est son TRA ?

TRA = i, tel que : [katex]88 = \dfrac{97}{(1 + i)^2}[/katex] => i = 4.99%

Maintenant reprenons l’exemple de notre obligation qui verse 100 euros par an pendant 3 ans. Supposons que l’on dispose du prix de 3 obligations zéro-coupon, représentatives du marché (courbe des taux). Nous allons pouvoir décomposer le prix de l’obligation à 3 ans :

Tableau 1

[su_table]

Echéance Cours du zéro-coupon TRA (annuel)
1 an 95 5.26%
2 ans 88 6.60%
3 ans 80 7.72%

[/su_table]

Comment déterminer un taux d’intérêt unique, qui correspond au taux d’actualisation sur 3 ans ?

D’abord en estimant la valeur actuelle des 3 cash flows :
Cash flow 1 = 100 x 95% = 100/1.0526 = 95 euros
Cash flow 2 = 100 x 88% = 100/1.066² = 88 euros
Cash flow 3 = 100 x 80% = 100/1.077280³ = 80 euros

Somme des trois cash flows actualisés = 263 euros

Puis on en déduit le taux unique i :

Tel que : [katex]263 = \dfrac{100}{(1 + i)} + \dfrac{100}{(1 + i)^2} + \dfrac{100}{(1 + i)^3}[/katex] => i = 6.88%                       (3)

En conclusions nous pouvons dire que lorsque la courbe des taux n’est pas plate (c’est-à-dire que les taux d’intérêt ne sont pas les même pour chaque échéance) et que l’on souhaite évaluer un titre à revenu fixe, alors il faut actualiser chaque cash flow au taux de rendement correspondant à une obligation zéro-coupon pour la même échéance, puis additionner les valeurs actuelles.

b) Exercice :

En cas d’anticipation de forte reprise économique de la part des investisseurs, la courbe des taux aura tendance à se « pentifier » (« the yield curve steepens« ). La nouvelle structure à terme des taux d’intérêts est comme suit (on se limite à trois ans) :

Tableau 2

[su_table]

Echéance Taux      
1 an 5.5%
2 ans 6.80%
3 ans 8.05%

[/su_table]

Quels sont les prix et TRA de notre obligation à 3 ans, qui paie un coupon de 100 euros par an ?

Réponse :

D’abord on estime la valeur actuelle des 3 cash flows :

Cash flow 1 = 100/1.055 = 94.787 euros
Cash flow 2 = 100/1.068² = 87.671 euros
Cash flow 3 = 100/1.0805³ = 79.273 euros

Soit un total des coupons actualisés de : 261.731 euros

Puis on en déduit le taux unique i :

Tel que : [katex]261.731 = \dfrac{100}{(1 + i)} + \dfrac{100}{(1 + i)^2} + \dfrac{100}{(1 + i)^3}[/katex] => i = 7.146%

5.    L’évaluation des obligations ordinaires :

Une entreprise qui émet une obligation ordinaire s’engage à verser, au souscripteur (obligataire), des intérêts (coupons) sur une base régulière pendant toute la durée de vie de l’obligation, puis à rembourser l’obligation à l’échéance.
Le taux nominal de l’obligation représente le taux d’intérêt qui s’applique à la valeur nominale de l’obligation pour calculer la valeur du coupon à payer.

Prenons l’exemple d’une obligation à 5 ans, qui verse un coupon de 5% par an. L’émetteur s’engage à payer pendant 5 ans :

1,000 (nominal) x 5% = 50 euros de coupon par an.

Au bout des 5 ans, il devra payer non seulement le dernier coupon de 50 euros mais également remboursera l’obligation à sa valeur nominale, c’est-à-dire 1,000 euros.
Nous allons représenter dans un tableau l’ensemble des cash flows de cette obligation :

[su_table]

Année 1 2 3 4 5
Coupon 50 50 50 50 50
Nominal – – – – 1’000
Total 50 50 50 50 1’050

[/su_table]

Une obligation qui vient d’être émise devrait normalement avoir son cours de bourse égal à sa valeur nominale : on dit qu’elle cote au pair. Dans ce cas le taux de rendement de l’obligation est égal à son taux nominal.

Principe n°1 : Si le prix d’une obligation est égal à son nominal, alors son rendement est égal à son taux nominal.

Mais la plupart du temps le cours d’une obligation est différent de son nominal. Ceci est dû au fait que les taux d’intérêt sont en perpétuelle fluctuation.

Exemple :

Prenons une obligation émise il y a 9 ans pour une durée de 10 ans, il ne lui reste donc plus qu’un an avant son échéance. Son coupon est de 10%. Si l’on suppose que la courbe des taux était plate il y a 9 ans et que tous les taux étaient à 10%, alors son TRA était de 10%. Aujourd’hui le taux à un an est de 5%.

>> Quel est son cours ?

Si je l’achète aujourd’hui, elle me payera dans un an : 1,000 + 100 = 1,100 euros.
Sachant que le taux à un an est de 5%, alors on actualise les 1,100 en utilisant ce taux :

[katex]P = \dfrac{1’100}{(1 + 5\%)} = 1’047.62[/katex] euros. Soit, en pourcentage du pair : 104.762

Elle cote donc au dessus du pair.

>> Quel est son rendement ?

On peut calculer deux sortes de rendement : le rendement courant (rendement actuel) et le rendement à l’échéance.

. Rendement courant : il consiste à rapporter le coupon annuel au cours actuel. Ici :  100 / 1’047.62 = 9.55%

Mais ce rendement exagère le rendement réel car il ne tient pas compte du fait qu’à l’échéance l’obligation sera remboursée au nominal (au pair). On reçoit donc 100 mais on perd 47.62 euros. Pour tenir compte de cet effet, nous allons calculer le rendement à maturité (yield-to-maturity).

. Rendement à maturité : il correspond au taux d’actualisation qui égalise le cours actuel et la valeur actuelle des cash flows de l’obligation restant à payer. Il intègre donc la totalité des revenus de l’obligation, y compris son remboursement à l’échéance.

Dans notre exemple, le rendement à maturité est tout simplement égal au taux d’intérêt du marché à un an :

[katex]\dfrac{100 + 1’000 – 1’047.62}{1’047.62} = 5\%[/katex]

Ici nous venons de prendre un exemple très simple, où il ne reste plus d’une seule année avant l’échéance. Mais comment procéder si l’on veut calculer le rendement à maturité de l’obligation précédente par exemple 7 ans après son émission, avec une courbe des taux comme celle définie dans le tableau 2 ?
Comme on l’a dit plus haut, le rendement à maturité est le taux d’actualisation qui égalise le cours actuel et la valeur actuelle des cash flows de l’obligation qui restent à payer :

[katex]VA = \dfrac {coupon}{(1 + i)} + \dfrac {coupon}{(1 + i)^2} + … + \dfrac {coupon}{(1 + i)^n} + \dfrac {VF}{(1 + i)^n} = \sum_{t=1}^n \dfrac {coupon}{(1 + i)^t} + \dfrac {VF}{(1 + i)^n}[/katex]    (4)

Avec :
n = nombre de paiements annuels jusqu’à l’échéance ;
VF = remboursement du nominal à l’échéance ;
i = rendement à maturité = TRA.

Pour notre exemple :

L’obligation paie un coupon de 10% par an. Nous somme à la septième année, donc elle va encore rapporter :

[su_table]

Année 8 9 10
Coupon 10 10 10
Nominal – – 100
Total 10 10 110

[/su_table]

La courbe des taux comme définie dans le tableau 2 est :

[su_table]

Echéance Taux      
1 an 5.5%
2 ans 6.80%
3 ans 8.05%

[/su_table]

Nous allons donc la payer :

Cash flow 1 = 10/1.055 = 9.479 euros
Cash flow 2 = 10/1.068² = 8.767 euros
Cash flow 3 = 110/1.0805³ = 87.20 euros

Soit un total des coupons actualisés de : 105.446 euros

D’où, on utilisant l’équation (4) :

[katex]105.446 = \dfrac{10}{(1 + i)} + \dfrac{10}{(1 + i)^2} + \dfrac{10}{(1 + i)^3} + \dfrac{100}{(1 + i)^3}[/katex] => i = 7.89%

Ce taux est supérieur à celui que nous avions trouvé plus haut (tableau 2, i=7.146%) car nous actualisons la 3ème année avec un taux supérieur, ce qui fait que le cash flow relativement le plus important (110) à une valeur présente beaucoup plus petite.

Le rendement à maturité de l’obligation obtenu est plus faible que le coupon, ou que son rendement actuel. Ceci est dû au fait que le cours est supérieur au nominal.

D’où :

Principe n°2 : Si le prix d’une obligation est supérieur à son nominal, alors son rendement à maturité est inférieur à son rendement actuel, qui est lui-même inférieur à son taux nominal (coupon).

A l’inverse, prenons maintenant une obligation qui paie un coupon de 4%, qui a une maturité de 2 ans. Si on suppose que son prix est de 95 (elle cote en dessous du pair), sont rendement est de :

– rendement actuel : 4/95 = 4.21% ;

– rendement à maturité : i, tel que :  [katex]95 = \dfrac{4}{(1 + i)} + \dfrac{104}{(1 + i)^2}[/katex] => i = 6.76%

Pour cette obligation, le rendement à maturité est supérieur au rendement actuel.

Principe n°3 : Si le prix d’une obligation est inférieur à son nominal, alors son rendement à maturité est supérieur à son rendement actuel, qui est lui-même supérieur à son taux nominal (coupon).

6.    Les indicateur de risque obligataire :

On utilise différents indicateurs calculés pour pouvoir comparer les obligations entre elles. Le rendement à maturité en fait partie.

Comme on l’a vu, il permet de comparer le rendement d’obligations ayant la même échéance et étant de qualité similaire. Mais que signifie cette notion de qualité similaire ?

a) La notation financière (rating) :

Les entreprises (ou débiteurs en général) présentent toutes des profils de risque différents selon, par exemple, le pays et le secteur dans lesquels elles évoluent. Mais, en terme de gestion obligataire, l’aspect essentiel du risque associé à une entreprise c’est le risque crédit que peuvent représenter la qualité de son bilan, de son management ou de son environnement.

De manière générale, il est possible de se fier à un indicateur de qualité de crédit : la notation financière (rating). Cet indicateur est fourni par des agences de notation, les plus connues d’entre elles sont : S&P, Moody’s et Fitch. Il existe d’autres agences, qui commencent à émerger, telles que la chinoise Dagong Global Credit Rating.

La meilleure note est représentée par un AAA (ou Aaa pour Moody’s). La qualité « investment grade » se situe de AAA à BBB-. Toutes les notes inférieures à BBB- sont considérées comme high yield (ou junk bonds). Pour obtenir le détail des différentes notations, voir le tableau ici.

Si l’on ne dispose pas de notation, ou d’analyse de la part d’une agence de notation, il est également possible d’obtenir une analyse de crédit de la part d’un broker, ou d’une société spécialisée.

A noter que l’on peut avoir une notation d’un émetteur et une notation d’une émission spécifique (du même émetteur) qui sont différentes. Un même émetteur peut en effet avoir émis des obligations de qualité différente, comme : le rang ou seniority (senior secured, senior unsecured, subordinated…), les covenants (negative pledge clause,…)

Pour ceux qui veulent approfondir l’aspect crédit, la vidéo suivante devrait pourvoir vous aider (provient d’un cours pour le CFA Level I) :

[su_youtube_advanced url= »https://www.youtube.com/watch?v=8EVjtNXgNck » autohide= »yes » https= »yes »]

Après avoir vu l’aspect qualitatif d’une obligation, nous allons voir l’aspect quantitatif : le risque de taux d’intérêt.

b) La Duration :

Connue également sous le nom de Macauley’s duration. C’est un indicateur complexe, mais indispensable dans la gestion des taux d’intérêt. On sait maintenant qu’une variation de taux d’intérêt influe sur le cours des obligations avec une relation inverse : une hausse des taux entraîne une baisse des cours et vice versa. Mais en cas de hausse des taux, les coupons versés par l’obligation peuvent être replacés à un meilleur taux, ce qui vient atténuer la perte en capital. La duration intègre ce phénomène car elle représente le temps au bout duquel la baisse de la valeur de l’obligation sera compensée, en cas de hausse des taux, par le gain réalisé en replaçant les coupons à un meilleur taux. Plus la duration est élevée, plus il faudra de temps pour compenser une baisse de la valeur de l’obligation.

En d’autres termes, la duration est la durée de vie moyenne pondérée d’une obligation, exprimée en nombre d’années.

La formule suivante nous permet de calculer la duration:

[katex]D = \dfrac {\sum_{t=1}^n \dfrac {t \times C}{(1 + r_{t})^t} + \dfrac {n \times F}{(1 + r_{n})^n}}{P_{0}}[/katex]        (5)

avec

[katex]D[/katex] : la duration
[katex]C[/katex] : le montant du coupon
[katex]F[/katex] : la valeur de remboursement
[katex]P_{0}[/katex] : la valeur présente de l’obligation
[katex]r_{t}[/katex] : le taux d’intérêt à t années
[katex]n[/katex] : la durée jusqu’à échéance
[katex]t[/katex] : compteur du temps qui varie de 1 à n

Cette formule est assez facile à comprendre : il s’agit des flux de l’obligation pondérés par leur échéance. Cette mesure nous donne donc la longévité effective de l’obligation, c’est-à-dire la période pendant laquelle il faut détenir le titre afin de récupérer la mise initiale.

Divers aspects de la duration

De la formule on déduit que la duration sera en général différente de la maturité. On voit que dès qu’il y a paiement d’un coupon, la duration sera inférieure à la maturité. En effet, seules les zéro-coupon ont une duration égale à la maturité.

Si on reprend (5) et que l’on généralise, on obtient :

[katex]D = \sum_{t=1}^n \dfrac { \dfrac {g_{t}}{(1 + r)^t}}{P_{0}} \times t[/katex]        (6)

Pourquoi cette formulation ?

Nous avons regroupé les coupons (C) et la valeur de remboursement (F) dans une seule variable (g). On ne fait donc plus de différenciation dans les différents cash flows. A partir de cette formulation on en déduit plus facilement la duration d’une zéro-coupon :

Supposons que l’on ait une obligation à taux zéro que l’on paie 90, et qui sera remboursée au pair dans deux ans. Quel est son rendement à maturité ?

Son rendement sur la période est :  [katex](\dfrac{100}{90} – 1) \times 100 = 11.11\%[/katex] (sur deux ans).
Le taux annuel actuariel équivalent est donc :
[katex]r = [ (1+11.11\%)^{\tfrac{1}{2}}-1] \times 100 = 5.41\%[/katex]

On sait que sa durée de vie est de deux ans, mais quelle est sa duration ?

On reprend la formule (6) :

[katex]D = \dfrac {\dfrac {0}{(1 + 5.41\%)^1}}{90} \times 1 + \dfrac {\dfrac {100}{(1 + 5.41\%)^2}}{90} \times 2 = 0 + \dfrac{180}{90} = 2[/katex]

On a vérifié que la duration de l’obligation à taux zéro est bien égale à sa durée de vie.

Exercice :

Prenons maintenant la même obligation que ci-dessus, mais au lieu d’être un « zéro-coupon » on lui attribue un coupon de 2%. Disons qu’on ne connaît pas son prix et qu’elle est ici encore remboursée au pair. Quel est son rendement à maturité si on considère que la courbe des taux est plate et qu’elle est la même que dans l’exemple précédent ? Quel est son prix ? Quelle est sa duration ?

> Rendement à maturité :
Si la courbe des taux est la même que précédemment, où le rendement du zéro-coupon à deux ans était de 5.41%, et qu’elle est plate alors le rendement à maturité ici est de 5.41%. On vérifie :

. D’abord on estime la valeur actuelle des 2 cash flows :

Cash flow 1 = 2/1.0541 = 1.8974 euros
Cash flow 2 = 102/1.0541² = 91.7987 euros
Soit un total des coupons actualisés de : 93.6961 euros. C’est son prix.

. Puis on en déduit le taux unique i, tel que :

[katex]93.6961 = \dfrac{2}{(1 + i)} + \dfrac{102}{(1 + i)^2}[/katex] => i = 5.41%

> Duration :

[katex]D=\dfrac{\dfrac{2}{(1+5.41\%)^1}}{93.6961}\times 1+\dfrac{\dfrac{102}{(1+5.41\%)^2}}{93.6961}\times 2=\dfrac{1.8974}{93.6961}+\dfrac{91.7987\times 2}{93.6961}=1.9797[/katex]

La duration est ici inférieure à celle de l’obligation zéro-coupon, ce qui est logique puisque le cash flow intervenant dès la première année (coupon de 2%) va sensiblement réduire le temps théoriquement nécessaire pour amortir le capital investi. Alors que dans le cas de l’obligation zéro-coupon il faudrait attendre le remboursement final (aucun paiement intermédiaire).

[su_note note_color= »#f4f4f4″ radius= »10″]Notes :

Microsoft Excel users can obtain the Macaulay duration using the DURATION financial function: DURATION (“4/11/2014,” “2/14/2022,” 0.06, 0.06, 2, 0). The inputs are the settlement date, maturity date, annual coupon rate as a decimal, annual yield-to-maturity as a decimal, periodicity, and the code for the day count (0 for 30/360, 1 for actual/actual)[/su_note]

[su_note note_color= »#f4f4f4″ radius= »10″]Notes :

Dans le cadre de l’étude d’un portefeuille, la duration globale de celui-ci correspond à la somme pondérée des durations des différentes obligations qui le composent, soit :

Portfolio Duration = w1D1 + w2D2 …+ wnDn[/su_note]

c) La Sensibilité :

Elle est liée à la duration. Elle indique de combien, en pourcentage, le cours de l’obligation variera si les taux d’intérêt varient de 1%.
Elle est également appelée duration modifiée (modified duration). La duration modifiée est un indice de l’évolution en pourcentage de la valeur d’une obligation ou d’un autre instrument à la suite d’une modification des rendements.

Modified Duration = MD = Duration / (1 + rendement)

La duration simple et la modified duration peuvent toutes deux être utilisées afin de couvrir le risque de taux du portefeuille obligataire.

Dans l’exemple précédent (avec un coupon à 2%), on aurait eu :

MD = 1.9797 / (1 + 5.41%) = 1.8781

Donc, en cas d’augmentation des taux d’intérêt de 5.41% à 6.41%, nous devrions voir le prix de l’obligation baisser de 1.8781%.
Soit : 93.6961 * (1 – 1.8781%) = 93.6961 – 1.7597 = 91.94.

On vérifie :

Cash flow 1 = 2/1.0641 = 1.8795 euros
Cash flow 2 = 102/1.0641² = 90.0814 euros
Soit un total des coupons actualisés de : 91.95 euros.

d) Les limites de la Duration/Sensibilité :

La duration n’est autre que la dérivée première de la fonction « prix de l’obligation », qui dépend du niveau des taux d’intérêt : P(r).

Or, la dérivée d’une fonction est en fait la pente de la tangente de cette fonction en un certain point, et ce concept permet d’étudier les variations de la fonction mais pour de faibles variations de la variable explicative. C’est-à-dire qu’on fait une approximation de la fonction par la pente de la tangente de cette dernière.

Ce concept est illustré par le graphique ci-dessous:

Modified Duration

La courbe P(r) représente l’évolution du prix de l’obligation en fonction de l’évolution des taux d’intérêt. La pente de cette courbe, en n’importe quel point, représente la duration modifiée, soit la variation du prix de l’obligation faisant suite à une variation des taux d’intérêt.

La limite de l’utilisation de la duration modifiée vient de l’outil mathématique utilisé. En effet, lorsque l’on estime une fonction par sa dérivée, les résultats ne sont valables que pour de faibles variations de la variable explicative (ici les taux d’intérêt). Dès lors, la duration modifiée ne convient plus pour analyser de brusques mouvements des taux (comme en cas de krach boursier).

De plus, la duration modifiée ne permet pas de capter l’asymétrie de la variation de prix. En effet, une hausse du taux de 0.5% provoquera une variation du prix plus faible qu’une baisse du taux de 0.5%. Ce phénomène est dû au fait que le prix d’une obligation est une fonction décroissante et convexe par rapport au taux et non pas une fonction linéaire comme on le suppose si on utilise la duration. Ainsi, si l’on utilise la duration modifiée pour estimer la variation de prix de l’obligation faisant suite à une variation des taux, on tend à surestimer cette variation en cas de hausse et à la sous-estimer en cas de baisse.

Pour un petit cours sur la « Dérivée en tant que pente d’une droite tangente » :

[su_youtube_advanced url= »https://www.youtube.com/watch?v=9vvtVNJow84″ autohide= »yes » https= »yes »]

e) La Convexité :

C’est la dérivée seconde du cours d’une obligation par rapport au taux d’intérêt. Elle mesure la variation relative de la sensibilité d’une obligation pour une petite fluctuation des taux d’intérêt. La convexité exprime la rapidité de l’appréciation et la lenteur de la dépréciation du cours de l’obligation si les taux baissent ou montent.

Commentaires, exemples et exercices

. Voici une liste d’obligations récentes et déjà cotées sur le marché secondaire : liste obligataire.

. Nous allons la parcourir et la commenter en cours (explications sur les différentes informations disponibles dans le document).

. Nous allons ensuite faire un exercice de construction d’un portefeuille obligataire.

Suite >>>   Les Options (1ère partie)

28
Nov, 2014

Les Options (1ère partie)

1. Définition

Une option est un contrat qui confère, contre paiement immédiat d’une prime, la faculté, mais non l’obligation, d’acheter (call) ou de vendre (put), pendant une période limitée, à un prix défini à l’avance, une certaine quantité d’actif sous-jacent.

– « la faculté, mais non l’obligation » : l’acheteur a le droit d’exercer ou pas son option d’achat ou de vente, selon que celle-ci est profitable ou pas. Comme on le verra plus loin, le vendeur d’option n’a pas le choix d’exercer ou pas puisque, par définition, ce n’est pas lui qui détient l’option et le droit qui y est attaché. Le vendeur d’option « subit » alors la décision de l’acheteur.

– « période limitée » : une option a une date d’expiration. Une fois expirée l’option disparaît et n’a plus de valeur.

– « prix défini à l’avance » : il s’agit du prix d’exercice. C’est le prix auquel le détenteur d’un call peut acheter le titre sous-jacent, ou auquel le détenteur d’un put peut vendre le titre sous-jacent.

– « certaine quantité » : lorsque l’on parle d’un call, ou d’un put, on fait référence à un contrat call ou un contrat put, ayant une taille différente selon le marché de cotation. La quantité de titres sous-jacents en question variera selon la taille du contrat et la quantité de calls ou de puts achetés (ou vendus). Par exemple : si nous achetons 10 calls APPLE strike 120 échéance mars 2015 sur le CBOE @ $4.75, nous allons payer 10 x 100 x $4.75 = $4’750. La taille d’un contrat d’option sur actions étant généralement de 100 sur le CBOE.

2. Utilisation des options

En général une option est utilisée pour son effet de levier, permettant soit de spéculer sur les fortes variations de l’actif sous-jacent à court terme, soit de l’utiliser à des fins de couverture.

Quelle que soit son utilisation (spéculation ou couverture) ce sont les caractéristiques des options qui en font un instrument financier intéressant : une mise de départ modérée permet d’obtenir une exposition conséquente, à la hausse comme  à la baisse, sur un actif sous-jacent.

Lorsque l’on va mettre en place une stratégie il est important, puisque la durée de vie d’une option est limitée, d’avoir une opinion non seulement sur la direction du mouvement anticipé du sous-jacent, mais également sur le timing et l’amplitude de ce mouvement.

En gestion de portefeuille il est également possible de mettre en place des stratégies simples, qui ne font pas appel à cet effet de levier, et qui permettent d’augmenter le rendement d’un portefeuille. On verra ces stratégies plus loin, mais avant de poursuivre voyons quelques caractéristiques importantes concernant les transactions sur options :

Une transaction sur option en opening peut être soit un achat soit une vente. Un investisseur qui initie un achat en opening est considéré comme l’acheteur (buyer, owner, holder) et établit une position long. Un achat en opening est annulé par une vente en closing.

Un investisseur qui initie une vente en opening s’appelle le vendeur (writer, on dit qu’il « écrit » une option). Il établit une position short. Une vente en opening est annulée par un achat en closing.

3. Évaluation des options

Le prix d’une option (prime) varie selon les paramètres suivants :

– le cours du sous-jacent, ou underlying (SJ) : le prix d’un call va varier dans le même sens que le cours de l’actif sous-jacent. Le prix du put va varier en sens inverse.

– le prix d’exercice, ou strike (PE) : le prix d’un call va varier en sens inverse du prix d’exercice. Le prix du put va varier dans le même sens.

– le temps restant avant l’expiration (t) : le prix du call et du put vont varier dans le même sens que le temps restant à courir jusqu’à l’expiration.  Plus il y a de temps avant l’expiration et plus les chances que le call ou le put soient profitables augmentes.

– le dividende (D) : le paiement du dividende (le jour de l’ex-date) entraine une baisse du cours du titre, ce qui influe sur le cours du call (à la baisse) et du put (à la hausse).

– le taux d’intérêt sans risque, ou risk-free rate (r) : le prix d’un call va varier dans le même sens que le taux d’intérêt sans risque, et le prix du put va varier dans le sens inverse. Acheter un call revient en effet à acheter « à crédit » l’actif sous-jacent (inversement pour le put, équivalent à un « prêt »). Si les taux montent cela coûte plus cher d’acheter « à crédit » donc le coût du call est plus élevé.

– la volatilité de l’actif sous-jacent (S): le prix du call et du put vont varier dans le même sens que le niveau de volatilité du sous-jacent.

On peut noter que la valeur d’une option (VO) est égale à sa valeur intrinsèque (VI) plus sa valeur temps (VT) :

VO = VI + VT

La VI (intrinsic value) d’une option est la partie de la prime de l’option qui est dans la monnaie ou ITM (in the money).  Par exemple, si l’on reprend le call APPLE strike 120 échéance mars 2015 : au moment de l’écriture de ces lignes le cours d’Apple est de $115.49, donc le call est OTM et la VI est nulle => VO = VT, ce qui implique que VT = $4.75. Si Apple valait $125, la VI serait de $125 – $120 = $5. En principe une option ne vaut jamais moins que sa VI.

De manière générale, la VI est égale à :

Pour un call : VI = max (0, SJ – PE)

Pour un put : VI = max (0, PE – SJ)

La VT (time value) représente la partie de la prime qui provient du temps restant jusqu’à l’expiration de l’option. La valeur de l’option étant la somme de la VI et de la VT en on déduit que VT = VO – VI : la valeur temps est obtenue en retirant la valeur intrinsèque de la prime de l’option. En général une option perd un tiers de sa VT durant la première moitié de sa vie et les deux tiers durant la seconde moitié. Plus le temps passe et plus la probabilité que l’option soit profitable d’ici l’expiration est faible. Chaque jour qui passe voit une diminution de la VT (time decay) qui tend vers zéro à l’expiration.

Une option peut avoir 3 statuts différents :

– En dehors de la monnaie, ou out of the money (OTM) : VI = 0, PE > SJ pour le call et PE < SJ pour le put

– A la monnaie, ou at the money (ATM) : VI = 0, PE = SJ

– Dans la monnaie, ou in the money (ITM) : VI > 0, SJ > PE pour le call et SJ < PE pour le put.

Modèles d’évaluation du prix d’une option :

Il existe plusieurs modèles d’évaluation d’option mais le plus connu d’entre eux est le modèle de Black & Scholes (du nom de Fischer Black et Myron Scholes) qui est un modèle utilisé en mathématiques financières afin d’estimer en théorie la valeur d’une option financière, du type option européenne.

La formule de Black & Scholes

Les prix du call c et du put p sont définis comme suit :

BetS-1

BetS-2

avec :

BetS-3

BetS-4

Ici, log représente le logarithme naturel, et :

s = le prix du titre sous-jacent

x = le prix d’exercice

r = le taux d’intérêt annualisé sans risque

t = le nombre d’années jusqu’à l’échéance de l’option

σ = la volatilité implicite de l’action sous-jacente

Φ = la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N(0, 1).

On peut également appliquer la formule à l’inverse : étant donné le prix de l’option, qui est cotée sur les marchés, quelle valeur de σ doit être choisie pour que la formule B-S donne exactement ce prix. On obtient ainsi la « volatilité implicite » qui a un grand intérêt pratique et théorique.

A savoir qu’il existe une relation de parité entre la valeur du call et celle du put, c’est à dire que l’on peut déduire la valeur d’un put à partir de celle d’un call et vice versa :

[katex]C = P + SJ – ( PE * e^{-nr} ) – D [/katex]

[katex]P = C – SJ + ( PE * e^{-nr} ) + D[/katex]

[katex]PE * e^{-nr} [/katex] = valeur actualisée du strike sur t périodes au taux sans risque r.

Exemple de calcul :

Reprenons l’action Apple, qui cote à $115.

Le taux d’intérêt sans risque à 1 an (au 04.12.2014) est de 0.5750% (trouvé ici).

On regarde le cours du call strike 110 qui expire en mars 2015 (le 20) soit dans 3 mois et demi. Son dernier cours est de $9.4 (« Last ») et son bid/ask spread est de $9.10 à $9.30.

Nous allons essayer de calculer la valeur du put de même strike et de même maturité :

Le taux d’intérêt sans risque (proportionnel) est donc de 0.5750% / 12 * 3.5 = 0.1677%

[katex]P = 9.40 – 115 + (110 \times e^{-0.1677\% \times 1} )[/katex]

[katex]P = -105.60 + 110 \times 0.9983 = 4.22[/katex]

Dans le tableau ci-dessous on observe un prix du put 110 à $4.39, soit légèrement plus cher que le prix théorique par rapport au call. Ceci s’explique par le fait que (entre autre) le put–call parity n’est valable que dans le cas d’options européennes (observation à l’échéance, contrairement aux options américaines qui peuvent être exercées à n’importe quel moment).

AAPL option chain

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